本文最后更新于 over 1 year ago，文中所描述的信息可能已发生改变。

李群的定义和线性表示 ​

李群的定义 ​

参数 $\alpha$ 可以在有限或无限范围内连续变化， $\alpha$ 的所有取值构成一个参数空间，称为 群参数空间。

如果 $g(\alpha)$ 满足以下 5 个条件，则称群 $G = \{ g(\alpha) \}$ 为 $r$ 阶李群。

1. 封闭性：对于任意给定的参数 $\alpha$ 和 $\beta$，总可以在群参数空间中找到 $\gamma$，使得 $g (\gamma) = g(\alpha)g(\beta)$，参数 $\gamma$ 为实参数 $\alpha, \beta$ 的实参数

$$\gamma= f(\alpha, \beta)$$

即 $\gamma_{i} = f_{i}(\alpha_{1},\dots,\alpha _{r};\beta_{1},\dots,\beta _{r})$，称为李群的结构函数。

2. 结合律：$(g (\alpha) g (\beta)) g (\gamma) = g(\alpha)(g(\beta)g(\gamma))$，即 $f (f (\alpha, \beta),\gamma) = f(\alpha , f(\beta, \gamma))$

3. 存在恒元 $g(\alpha_{0})$：群参数空间中存在参数 $\alpha_{0}$，使得对任意群参数 $\alpha$ 都有

$$g(\alpha) = g(\alpha_{0})g(\alpha) = g(\alpha)g(\alpha_{0})$$

也即

$$\alpha = f(\alpha_{0}, \alpha) = f(\alpha, \alpha_{0})$$

4. 存在逆元：对于任意群参数 $\alpha$, 存在群参数 $\bar{\alpha}$，使得：

$$g(\alpha)g(\bar{\alpha}) = g(\bar{\alpha})g(\alpha) = g(\alpha_{0})$$

$$\alpha_{0} = f(\alpha,\bar{\alpha}) = f(\bar{\alpha}, \alpha)$$

5. 结构函数 $\gamma = f(\alpha,\beta)$ 是解析函数.

注：

• 通常我们选择 $\alpha_{0} = 0$ 作为恒元对应的群参数的取值，即：$(\alpha_{01}, \alpha_{02},\dots,\alpha _{0r} ) = (0,0,\dots,0)$。
• 若 $\alpha$ 取值范围有界，则称李群 $G$ 为紧致李群。这里要求所有参数 $\alpha _{k}(k = 1,2,\dots,r)$ 的取值范围都有界。例：$SO(3)$ 群为 3 阶紧致李群，n 维平移群为 n 阶非紧致李群。
• 在上述描述中，所有的希腊字母代表的参数事实上式一组参数。
• 当 $\alpha, \beta$ 是小量时， $f (\alpha + \beta) = \alpha +\beta$。
• 当 $\alpha$ 是小量时， $\bar{\alpha} = -\alpha$，其中 $g (\bar{\alpha}) = g^{-1}(\alpha)$。
• 连通性。一个李群如果具有如下性质，则称为单连通的：任意群元都能连续的变到恒元。用群参数的语言来描述则为：任意群元所对应的群参数都能连续地经过群参数的允许区域变到零。

$n$ 维空间中带 $r$ 个实参数的线性坐标变换 ​

考虑 $n$ 维空间中带 $r$ 个实参数的线性坐标变换，变换后的坐标为变换前坐标以及变换参数的函数，即

$$x_{i}' = \varphi _{i}(x_{1},x_{2},\dots,x_{n};\alpha_{1},\alpha _{2},\dots,\alpha _{r}) \quad (i = 1,2,\dots,n)$$

或

$$x_{i}' = \varphi _{i}(x;\alpha)$$

其中 $\alpha$ 是群 $G$ 的独立参数，表示成矩阵的形式：

$$\begin{bmatrix} x_{1}' \\ \vdots \\ x_{n}' \end{bmatrix} = g(\alpha)\begin{bmatrix} x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \end{bmatrix}$$

满足前面 5 个条件的 $g(\alpha)$ 构成 $r$ 阶李群 $G = \{ g(\alpha) \}$

李群的线性表示 ​

李群的线性表示是一种将群元映射到表示矩阵的同态关系：

$$G = \{ g(\alpha) \} \to D(G) = \{ D(g_{\alpha})\equiv D(\alpha) \}$$

其中 $D(\alpha)$ 称为 $\alpha$ 的函数矩阵，满足李群的法则：

$$\begin{align} D(\alpha)D(\beta) &= D(\gamma), \gamma =f(\alpha,\beta) \\ D(\alpha_{0})D(\alpha) &= ED(\alpha) = D(\alpha) \\ D(\alpha)D(\bar{\alpha}) &= D(\alpha_{0}) = E, D(\bar{\alpha})= D^{-1}(\alpha) \end{align}$$

另外我们还要求 $D(\alpha)$ 是 2 阶光滑的。

李群的线性表示的生成元 ​

假设在恒元附近 （$\alpha_{0}$ 附近）， $\alpha$ 与恒元附近的群元的表示矩阵存在一一对应关系，则可以将 $D(\alpha)$ 在 $\alpha_{0}$ 附近展开：

$$D(\alpha)=D(\alpha_{0})+\left.\frac{\partial D(\alpha)}{\partial\alpha_{k}}\right|_{\alpha=\alpha_{0}}(\alpha_{k}-\alpha_{0k})=E+(\alpha_{k}-\alpha_{0k})I_{k}$$

定义 $I_{k} = \left.\frac{\partial D (\alpha)}{\partial \alpha _{k}}\right|_{\alpha = \alpha_{0}}$ 为李群的线性表示的生成元。

为简单起见，可以令 $\alpha_{0} = 0$，则上式简化为：

$$D(\alpha) = E + \left.\frac{\partial D (\alpha)}{\partial \alpha _{k}}\right|_{\alpha = 0} \alpha _{k} = E + \alpha _{k}I_{k}$$

为了与物理联系起来，在物理学的研究中通常引入 $\tilde{I}_{k}= iI_{k}$，则

$$D(\alpha) = E - i \alpha _{k}\tilde{I}_{k}$$

生成元的线性无关性 ​

几个例子 ​

$SO(2)$ 群 ​

$SO(2)$ 群只有一个独立的群参数，所以是一阶李群。 表示矩阵为：

$$D(\omega) = \begin{bmatrix} \cos \omega & -\sin \omega \\ \sin \omega & \cos \omega \end{bmatrix} \quad \omega \in [0, 2\pi]$$

因为群参数 $\omega$ 是有界的，所以 $SO(2)$ 群是 紧致的。

当 $\omega = 0$ 时， $D (0) = E$，因此 $\omega_{0} = 0$ 是恒元对应的群参数的取值，根据生成元的定义：

$$\left.\left.I=\left.\frac{\partial D(\omega)}{\partial\omega}\right|_{\omega=0}=\left.\left[\begin{array}{cc}-\sin\omega&-\cos\omega\\\cos\omega&-\sin\omega\end{array}\right.\right.\right]\right|_{\omega=0}=\left[\begin{array}{cc}0&-1\\1&0\end{array}\right]$$

$GL(2, R)$ 群：2 维空间实线性变换群 ​

表示矩阵为：

$$D(\alpha) = \begin{bmatrix} \alpha_{1} & \alpha_{2} \\ \alpha_{3} & \alpha_{4} \end{bmatrix}, \quad \det D(\alpha)\neq 0$$

在计算生成元之前，先要确定恒元对应的群参数 $\alpha_{0}$ 的取值， $GL(2,R)$ 群有四个独立的群参数，恒元是二阶的单位矩阵，所以相应地： $\alpha_{0} = (\alpha _{01},\alpha _{02}, \alpha _{03}, \alpha _{04}) = (1, 0 ,0, 1)$。

根据生成元的定义

$$I_k=\left.\frac{\partial D(\alpha)}{\partial\alpha_k}\right|_{\alpha=\alpha_0}$$

有

$$\begin{align} \left.I_1=\left.\frac{\partial D(\alpha)}{\partial\alpha_1}\right|_{\alpha=\alpha_0}=\left[\begin{array}{cc}1&0\\0&0\end{array}\right.\right]\left|\begin{array}{c}\alpha_1=1\\\alpha_2=0\\\alpha_3=0\\\alpha_4=1\end{array}\right.=\left[\begin{array}{cc}1&0\\0&0\end{array}\right] \\ \left.I_2=\left.\frac{\partial D(\alpha)}{\partial\alpha_2}\right|_{\alpha=\alpha_0}=\left[\begin{array}{cc}0&1\\0&0\end{array}\right.\right]\left|\begin{array}{c}\alpha_1=1\\\alpha_2=0\\\alpha_3=0\\\alpha_4=1\end{array}\right.=\left[\begin{array}{cc}0&1\\0&0\end{array}\right] \\ \left.I_3=\left.\frac{\partial D(\alpha)}{\partial\alpha_3}\right|_{\alpha=\alpha_0}=\left[\begin{array}{cc}0&0\\1&0\end{array}\right.\right]\left|\begin{array}{c}\alpha_1=1\\\alpha_2=0\\\alpha_3=0\\\alpha_4=1\end{array}\right.=\left[\begin{array}{cc}0&0\\1&0\end{array}\right] \\ \left.I_4=\left.\frac{\partial D(\alpha)}{\partial\alpha_4}\right|_{\alpha=\alpha_0}=\left[\begin{array}{cc}0&0\\0&1\end{array}\right.\right]\left|\begin{array}{c}\alpha_1=1\\\alpha_2=0\\\alpha_3=0\\\alpha_4=1\end{array}\right.=\left[\begin{array}{cc}0&0\\0&1\end{array}\right] \end{align}$$

$GL(n, R)$ 群： $n$ 维空间实线性变换群 ​

表示矩阵为：

$$D(\alpha) = \begin{bmatrix} \alpha _{11} & \dots & \alpha _{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ \alpha _{n 1} & \dots & \alpha _{nn} \end{bmatrix}, \quad \det D(\alpha)\neq 0$$

共 $n^{2}$ 个群参数。恒元对应的群参数的取值为

$$\alpha_{0} = \begin{bmatrix} 1 & & \\ & \ddots & \\ & & 1 \end{bmatrix}, \quad \alpha _{0ij} = \delta _{ij}$$

生成元为

$$I_{ij} = \left. \frac{\partial D(\alpha)}{\partial \alpha _{ij}}\right|_{\alpha = \alpha_{0}} = \begin{bmatrix} 0 & \dots & 0 \\ \vdots & 1 & \vdots \\ \\ & \text{(i行 j列)} & \\ 0 & \dots & 0 \end{bmatrix}, \quad [I_{ij}]_{pq} = \delta _{ip}\delta _{jq}$$

生成元 $I_{ij}$ 的 $i$ 行 $j$ 列为 1，其它矩阵元为 0.

二维实特殊线性变换群： $SL(2, R)$ 群（3 阶非紧致李群） ​

表示矩阵为：

$$D(\alpha) = \begin{bmatrix} \alpha_{1} & \alpha_{2} \\ \alpha_{3} & \alpha_{4} \end{bmatrix}, \quad \det D(\alpha) = 1 \to \alpha_{4} = \frac{1 + \alpha_{2} \alpha_{3}}{\alpha_{1}}$$

$$D(\alpha_{0}) = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad \alpha_{0} = (1, 0, 0)$$

$SO(3)$ 群（3 阶紧致李群） ​

$So(3)$ 群元用三个参数 $\varphi, \theta, \omega$ 表示

$$C_{\hat{n}(\theta,\varphi)}(\omega)=S(\varphi,\theta)C_{\mathbf{k}}(\omega)S(\varphi,\theta)^{-1}$$

从上式可以看出，当 $\omega = 0$ 时，无论 $\varphi$ 和 $\theta$ 取什么值，群元都为 $E$，也就是说，在恒元附近，参数 $\alpha = (\theta, \varphi, \omega)$ 与恒元 $E$ 附近的群元不是一一对应的，存在不止一组 $\alpha_{0}$ 与恒元对应。因此，这组参数不能用来求李群线性表示的生成元。

二维特殊幺正变换群： $SU(2)$ 群（3 阶紧致李群） ​

$$D(\alpha) = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}, \quad D^{\dagger}D = E, \quad\det D(\alpha) = 1$$

每个矩阵元均有实部与虚部，因此共有 8 个实参数。 但是幺正条件和行列式为 1 的条件，分别给出 $2^{2}$ 和 1 个约束方程。 所以 $SU(2)$ 群只有 $2\times 2^{2} - 2^{2} - 1 = 3$ 个对立实参数，是 3 阶李群。

有限群元的生成 ​

设 $D (0) = E,\alpha \ll 1$，生成元为 $I_{k}$。在前面的讨论中，我们知道此时可以将表示矩阵在恒元附近展开：

$$D(\alpha) = E + \alpha _{k}I_{k}$$

以 $SO(2)$ 群为例，来看看如何由生成元生成有限群元。

$SO(2)$ 群只有一个独立的群参数 $\theta$，与恒元对应的群参数的取值为 $\theta = 0$，取 $\delta \theta \to 0$，则

$$D(\delta \theta) = E + \delta \theta I$$

可以通过如下方式定义 $\delta \theta$， $SO(2)$ 群的群元代表在二维平面内的转动，那么一个有限的转动可以被分解为无穷多个无穷小转动的叠加，因此 $\delta \theta = \frac{\theta}{N}$，其中 $N\gg 1$，群元 $D(\theta)$ 可以表示为：

$$D(\theta) = (D(\delta\theta))^{N} \doteq (E + I\delta \theta )^{N}$$

上式在 $N\to \infty$ 时取等号，即：

$$D(\theta) = \lim_{ N \to \infty } \left( E + \frac{\theta}{N}I \right)^{N}$$

我们知道 ： $\lim_{ N \to \infty }\left ( 1 + \frac{\alpha}{N} \right)^{N} = e^{\alpha}$，因此可得：

$$D(\theta) = e^{\theta I}$$

同理，当李群有多个独立的群参数时，

$$D (\alpha) = e^{\alpha _{i} I_{i}}$$

对于 $SO(2)$ 群，有限转动 $D(\theta)$ 可由无穷小转动变换生成：

$$D(\theta) = e^{\theta I} = \exp(\theta \begin{bmatrix} & -1 \\ 1 & \end{bmatrix}) = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$$