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这节主要介绍计算旋转黑洞弱引力透镜偏转角的方法——Gauss-Bonnet 定理。

在正式介绍 Gauss-Bonnet 定理之前，我们先了解一下多面体的欧拉示性数。

多面体的欧拉示性数 ​

1750 年欧拉提出了多面体 $K$ 的拓扑不变量的概念，用欧拉示性数表示为

$$\chi (K) = a_{0} - a_{1} + a_{2}$$

其中， $a_{0}$ 为多面体的顶点数， $a_{1}$ 为棱数， $a_{2}$ 为面数。

For example,

• 四面体

$$\begin{align} a_{0} &= 4,\quad a_{1} = 6, \quad a_{2} = 4, \\ \chi &= 4 - 6 + 4 = 2 \end{align}$$

• 五面体

$$\begin{align} a_{0} &= 6, \quad a_{1} = 9, \quad a_{2} = 5, \\ \chi &= 6 - 9 + 5 = 2 \end{align}$$

二维闭曲面的欧拉示性数 ​

从多面体的欧拉示性数进行推广，考虑二维闭曲面的示性数。二维闭曲面 $\Sigma$ 的欧拉示性数 $\chi(\Sigma)$ 由 Gauss-Bonnet 定理决定

$$\chi(\Sigma) = \frac{1}{2\pi} \int _{\Sigma} K dS, \quad K = - \frac{R_{1212}}{g}$$

其中 $R_{\lambda \sigma \mu \nu}$ 为 $\Sigma$ 上的曲率张量，$g$ 为度规 $g_{\mu \nu}$ 的行列式， $K$ 称为 $\Sigma$ 上的高斯曲率。

通过上式，可以计算出二维球面 $S^{2}$ 和二维环面 $T^{2}$ 的欧拉示性数分别为

$$\chi(S^{2}) = 2, \quad \chi(T^{2}) = 0$$

所以可以看到四面体、五面体与二维球面同胚。