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群论的主题 ​

群论的主题是对称性，是研究系统对称性质的有力工具。

那么什么是对称性？

对称性：对一个物理定律适用的物理系统进行一定的变换操作后，物理定律保持不变的性质。

常见的变换操作：镜面反射、时间反演、旋转等。

对这些变换和操作的表述需要借助于群论的帮助。

诺特定理（Noether’s theorem） ​

在物理学中，某种对称性 $\to$ 守恒量，这就是著名的Noether定理。比如：

• 空间转动对称性 $\to$ 角动量
• 时间平移对称性 $\to$ 能量
• 空间平移对称性 $\to$ 动量

Noether 定理可以表述为： 如果一个系统的拉格朗日量具有某种对称性，那么该系统一定存在一个与之相关的守恒量，反之亦然。

• 守恒量：守恒量是系统中不随时间改变的某种性质。
• 连续对称：正方形——离散的旋转对称性， 圆形——连续的旋转对称性
• 系统的拉格朗日量：拉格朗日量通过让整个过程中的作用量最小来描述系统的能量在一个过程中应该如何变化。

回到诺特（Noether）定理。拉格朗日量具有连续对称性意味着什么？

如果当系统沿着某个坐标连续变换时，它的拉格朗日量不变，那么这个系统被认为关于那个坐标是连续对称的。

这种对称性意味着存在一个守恒量。